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2019_2020学年高中数学第五章三角函数5.4.2.2正弦函数余弦函数的性质二学案新人教A版必修4

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第 2 课时 正弦函数、余弦函数的性质(二)
1.掌握 y=sinx,y=cosx 的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值. 2.掌握 y=sinx,y=cosx 的单调性,并能利用单调性比较大小. 3.会求函数 y=Asin(ωx+φ)及 y=Acos(ωx+φ)的单调区间. 正弦函数、余弦函数的图象和性质
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温馨提示:(1)正弦函数、余弦函数有单调区间,但都不是定义域上的单调函数,即正 弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调.
(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点,即此 时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值.
1.正弦函数在-π2 ,32π上,函数值的变化有什么特点?余弦函数在[0,2π]上,函
数值的变化有什么特点?
[答案] y=sinx 在-π2 ,π2 上,曲线逐渐上升,是增函数,函数值 y 由-1 增大到 1;在π2 ,32π上,曲线逐渐下降,是减函数,函数值 y 由 1 减小到-1;
y=cosx 在[0,π]上,曲线逐渐下降,是减函数,函数值由 1 减小到-1,在[π,2π] 上,曲线逐渐上升,是增函数,函数值由-1 增大到 1
2.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数.( ) (2)存在 x∈R 满足 sinx= 2.( ) (3)在区间[0,2π]上,函数 y=cosx 仅当 x=0 时取得最大值 1.( )
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(4)函数 y=sinx 的增区间恰好是 y=sin(-x)的减区间.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
题型一正、余弦函数的单调性 【典例 1】 求下列函数的单调区间.
(1)y=cos2x;(2)y=2sinπ4 -x.
[思路导引] 用整体代换法求解. [解] (1)函数 y=cos2x 的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定: 2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z. ∴kπ-π2 ≤x≤kπ,k∈Z,kπ≤x≤kπ+π2 ,k∈Z.
∴ 函 数 y = cos2x 的 单 调 递 增 区 间 为 kπ-π2 ,kπ , k ∈ Z , 单 调 递 减 区 间 为 kπ,kπ+π2 ,k∈Z.
(2)y=2sinπ4 -x=-2sinx-π4 , 函数 y=-2sinx-π4 的单调递增、递减区间分别是函数 y=2sinx-π4 的单调递减、
递增区间. 令 2kπ+π2 ≤x-π4 ≤2kπ+3π 2 ,k∈Z. 即 2kπ+34π≤x≤2kπ+74π,k∈Z,
即函数 y=2sinπ4 -x的单调递增区间为 2kπ+3π4 ,2kπ+7π 4 ,k∈Z. 令 2kπ-π2 ≤x-π4 ≤2kπ+π2 ,k∈Z. 即 2kπ-π4 ≤x≤2kπ+3π 4 ,k∈Z. 即函数 y=2sinπ4 -x的单调递减区间为 2kπ-π4 ,2kπ+34π,k∈Z.
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求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点 (1)结合正、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间. (2)在求形如 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间时,应采用“换元法” 整体代换,将“ωx+φ”看作一个整体“z”,即通过求 y=Asinz 的单调区间而求出原函 数的单调区间.求形如 y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间同上. (3)①ω<0 时,一般用诱导公式转化为-ω>0 后求解; ②若 A<0,则单调性相反.
[针对训练]
1.求函数 y=3sinπ3 -2x的单调递减区间. [解] ∵y=3sinπ3 -2x=-3sin2x-π3 , ∴y=3sin2x-π3 是增函数时,y=3sinπ3 -2x是减函数. ∵函数 y=sinx 在-π2 +2kπ,π2 +2kπ(k∈Z)上是增函数,∴-π2 +2kπ≤2x-π3 ≤π2 +2kπ, 即-1π2+kπ≤x≤51π2 +kπ(k∈Z). ∴函数 y=3sinπ3 -2x的单调递减区间为-π 12+kπ,51π2 +kπ(k∈Z).
题型二三角函数值的大小比较 【典例 2】 比较下列各组数的大小: (1)sin250°与 sin260°;(2)cos158π与 cos149π. [思路导引] 利用正、余弦函数的单调性比较大小. [解] (1)∵函数 y=sinx 在[90°,270°]上单调递减,且 90°<250°<260°<270°, ∴sin250°>sin260°.
(2)cos158π=cos2π-π8 =cosπ8 ,
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cos149π=cos2π-49π=cos4π9 .

∵函数 y=cosx 在[0,π]上单调递减,且 0<π8 <49π<π,

π 4π

15π 14π

∴cos 8 >cos 9 ,∴cos 8 >cos 9 .

比较三角函数值大小的方法 (1)比较两个同名三角函数值的大小,先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的 角,再利用函数的单调性比较. (2)比较两个不同名的三角函数值的大小,一般应先化为同名的三角函数,后面步骤同 上.
[针对训练] 2.比较下列各组数的大小.
(1)cos-π8 与 cos137π;(2)sin194°与 cos160°. [解] (1)∵cos-π8 =cosπ8 , cos137π=cos2π-π7 =cosπ7 ,
而 0<π8 <π7 <π2 ,
且 y=cosx 在0,π2 上单调递减, ∴cosπ8 >cosπ7 .即 cos-π8 >cos137π.
(2)∵sin194°=sin(90°+104°)=cos104°, 而 0°<104°<160°<180°, 且 y=cosx 在[0,π]上单调递减. ∴cos104°>cos160°.即 sin194°>cos160°. 题型三正、余弦函数的最值
【典例 3】 (1)求函数 y=3-4cos2x+π3 ,x∈-π3 ,π6 的最大值、最小值及相应
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的 x 值. (2)求函数 y=2sin2x+2sinx-12,x∈π6 ,56π的值域. [思路导引] (1)利用余弦函数的值域确定函数的最值;(2)利用变量代换转化为二次函
数求值域,注意变量的范围.
[解] (1)因为 x∈-π3 ,π6 , 所以 2x+π3 ∈-π3 ,23π, 从而-12≤cos2x+π3 ≤1. 所以当 cos2x+π3 =1,即 2x+π3 =0, x=-π6 时,ymin=3-4=-1. 当 cos2x+π3 =-12,即 2x+π3 =2π3 ,x=π6 时,ymax=3-4×-12=5. 综上所述,当 x=-π6 时,ymin=-1; 当 x=π6 时,ymax=5. (2)令 t=sinx,因为 x∈π6 ,5π 6 , 所以12≤sinx≤1,即12≤t≤1. 所以 y=2t2+2t-12=2t+122-1, ∵以 t 为自变量的二次函数在12,1上单调递增, ∴1≤y≤72,所以原函数的值域为1,72. [变式] 将本例(2)中函数改为 y=2cos2x+2sinx-12,其他条件不变,结果如何? [解] y=2cos2x+2sinx-12 =2(1-sin2x)+2sinx-12 =-2sin2x+2sinx+32
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=-2sinx-122+52. ∵x∈π6 ,56π,∴sinx∈12,1.所以32≤y≤52. 故原函数的值域32,52.
三角函数最值问题的 3 种常见类型及求解方法 (1)形如 y=asinx(或 y=acosx)型,可利用正弦函数,余弦函数的有界性,注意对 a 正负的讨论. (2)形如 y=Asin(ωx+φ)+b(或 y=Acos(ωx+φ)+b)型,可先由定义域求得 ωx+ φ 的范围,然后求得 sin(ωx+φ)(或 cos(ωx+φ))的范围,最后求得最值. (3)形如 y=asin2x+bsinx+c(a≠0)型,可利用换元思想,设 t=sinx,转化为二次函 数 y=at2+bt+c 求最值,t 的范围需要根据定义域来确定. [针对训练] 3.求下列函数的值域:
(1)y=sin2x-π3 ,x∈0,π2 ; (2)y=cos2x-4cosx+5. [解] (1)因为 0≤x≤π2 , 所以 0≤2x≤π, 所以-π3 ≤2x-π3 ≤2π 3 . 令 2x-π3 =t, 则原式转化为 y=sint,t∈-π3 ,23π, 由 y=sint 的图象知- 23≤y≤1, 所以所求函数的值域为- 23,1. (2)令 t=cosx,则-1≤t≤1. ∴y=t2-4t+5=(t-2)2+1,
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∴t=-1 时,y 取得最大值 10, t=1 时,y 取得最小值 2. 所以 y=cos2x-4cosx+5 的值域为[2,10].
课堂归纳小结 1.求函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的方法 把 ωx+φ 看成一个整体,由 2kπ-π2 ≤ωx+φ≤2kπ+π2 (k∈Z)解出 x 的范围, 所得区间即为增区间,由 2kπ+π2 ≤ωx+φ≤2kπ+32π(k∈Z)解出 x 的范围,所得区间 即为减区间.若 ω<0,先利用诱导公式把 ω 转化为正数后,再利用上述整体思想求出相应 的单调区间. 2.比较三角函数值的大小,先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角 函数值的大小比较,再利用单调性作出判断. 3.求三角函数值域或最值的常用方法 将 y 表示成以 sinx(或 cosx)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方或利用 函数的单调性等来确定 y 的范围.

1.函数 f(x)=sinx+π6 的一个递减区间是(

)

A.-π2 ,π2 C.-2π3 ,23π

B.[-π,0]
D.π2 ,2π3

[解析] ∵2kπ+π2 ≤x+π6 ≤2kπ+32π,k∈Z,

∴2kπ+π3 ≤x≤2kπ+43π,k∈Z.

令 k=0 得π3 ≤x≤43π.

又∵π2 ,23π? π3 ,4π 3 ∴函数 f(x)=sinx+π6 的一个递减区间为π2 ,2π3 .故选 D.

[答案] D

2.函数 y=1-2cosπ2 x 的最小值,最大值分别是(

)

A.-1,3

B.-1,1

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C.0,3

D.0,1

[解析] ∵x∈R,∴π2 x∈R,

∴y=cosπ2 x 的值域[-1,1].

∴y=1-2cosπ2 x 的最大值为 3,最小值-1.

[答案] A

3.下列关系式中正确的是( )

A.sin11°<cos10°<sin168°

B.sin168°<sin11°<cos10°

C.sin11°<sin168°<cos10°

D.sin168°<cos10°<sin11°

[解析] ∵sin168°=sin(180°-12°)=sin12°,

cos10°=sin(90°-10°)=sin80°.

由正弦函数的单调性得 sin11°<sin12°<sin80°,

即 sin11°<sin168°<cos10°.

[答案] C

4.下列函数中,既为偶函数又在(0,π)上单调递增的是( )

A.y=cos|x|

B.y=cos|-x|

C.y=sinx-π2

D.y=-sinx2

[解析] y=cos|x|在0,π2 上是减函数,排除 A; y=cos|-x|=cos|x|,排除 B;y=sinx-π2 =-sinπ2 -x=-cosx 是偶函数,且在(0,π)上单调递增,符合题意;y=-sinx2在

(0,π)上是单调递减的.

[答案] C

5.求函数 y=13sinπ6 -x(x∈[0,π])的单调递增区间.

[解] ∵y=13sinπ6 -x=-13sinx-π6

∴函数的单调增区间即为 t=sinx-π6 的单调递减区间为 2kπ+π2 ≤x-π6 ≤2kπ+

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3π 2
∴2kπ+23π≤x≤2kπ+53π,k∈Z 且 x∈[0,π],当 k=0 时,2π 3 ≤x≤5π3 , 而2π 3 ,5π5 ∩[0,π]=2π 3 ,π, ∴y=13sinπ6 -x(x∈[0,π])的单调递增区间为 23π,π.

课后作业(四十五)

复习巩固

一、选择题

1.函数 y=2-sinx 的最大值及取最大值时 x 的值分别为( )

A.ymax=3,x=π2

B.ymax=1,x=π2 +2kπ(k∈Z)

C.ymax=3,x=-π2 +2kπ(k∈Z)

D.ymax=3,x=π2 +2kπ(k∈Z)

[解析] ∵y=2-sinx,∴当 sinx=-1 时,ymax=3,此时 x=-π2 +2kπ(k∈Z).

[答案] C

2.下列函数在π2 ,π上是增函数的是( A.y=sinx

) B.y=cosx

C.y=sin2x

D.y=cos2x

[解析]

因为

y=sinx



y=cosx

在π2 ,π上都是减函数,所以排除

π A、B.因为 2

≤x≤π,所以 π≤2x≤2π.因为 y=sin2x 在 2x∈[π,2π]内不具有单调性,所以排除

C.故选 D.

[答案] D

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3.函数 y=cosx+π6 ,x∈0,π2 的值域是(

)

A.- 23,12

B.-12, 23

C. 23,1

D.12,1

[解析] 由 0≤x≤π2 ,得π6 ≤x+π6 ≤2π3 ,

故-12≤cosx+π6 ≤ 23.故选 B.
[答案] B

4.函数 y=2sinx-π3 (x∈[-π,0])的单调递增区间是(

)

A.-π,-5π 6

B.-5π 6 ,-π6

C.-π3 ,0

D.-π6 ,0

[解析] 解法一:y=2sinx-π3 ,其单调递增区间为-π2 +2kπ≤x-π3 ≤π2 +2kπ,

k∈Z,则-π6 +2kπ≤x≤56π+2kπ,k∈Z.由于 x∈[-π,0],所以其单调递增区间为

-π6 ,0.
5π 解法二:函数在 6 取得最大值,且其最小正周期为 2π,则其单调递增区间为

56π-π,56π,即-π6 ,56π,又因为 x∈[-π,0],所以其单调递增区间为-π6 ,0.
[答案] D

5.函数 y=2sinπ3 -x-cosπ6 +x(x∈R)的最小值等于(

)

A.-3

B.-2

C.-1

D.- 5

[解析] ∵π3 -x+π6 +x=π2 , ∴y=2sinπ2 -π6 +x-cosx+π6 =2cosx+π6 -cosx+π6

11

=cosx+π6 ,∴ymin=-1.
[答案] C 二、填空题 6.cos770°________sin980°(填“>”或“<”). [解析] ∵cos770°=cos(720°+50°)=cos50°=sin40°, sin980°=sin(720°+260°)=sin260°=sin(180°+80°) =-sin80°<sin40°. ∴cos770°>sin980°. [答案] > 7.函数 y=cosx 在区间[-π,a]上为增函数,则 a 的取值范围是________. [解析] ∵y=cosx 在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,∴只有-π<a≤0 时,满足条件.故 a 的取值范围是(-π,0]. [答案] (-π,0] 8.设函数 f(x)=A+Bsinx,当 B<0 时,f(x)的最大值是32,最小值是-12,则 A=________, B=________.

[解析]

A-B=32
根据题意,得
A+B=-12.

解得 A=12,B=-1. 1
[答案] 2 -1 三、解答题
9.求函数 y=1+sin-12x+π4 ,x∈[-4π,4π]的单调减区间. [解] y=1+sin-12x+π4 =-sin12x-π4 +1. 由 2kπ-π2 ≤12x-π4 ≤2kπ+π2 (k∈Z). 解得 4kπ-π2 ≤x≤4kπ+32π(k∈Z).

12

∴k=0 时,x∈-π2 ,32π,

k=1 时,x∈72π,112π,

k=-1 时,x∈-9π 2 ,-5π 2 . 又∵x∈[-4π,4π],

∴ 函 数 y = 1 + sin -12x+π4 的 单 调 减 区 间 为 -4π,-52π , -π2 ,32π ,

72π,4π.

10.求下列函数的最大值和最小值.

(1)f(x)=sin2x-π6 ,x∈0,π2 ;

(2)y=-2cos2x+2sinx+3,x∈π6 ,56π.

[解] (1)当 x∈0,π2 时,

2x-π6 ∈-π6 ,5π6 ,由函数图象知,f(x)=sin2x-π6 ∈sin-π6 ,sinπ2 =

-12,1.

所以,f(x)在0,π2 上的最大值和最小值分别为

1 1,-2.

(2)y=-2(1-sin2x)+2sinx+3

=2sin2x+2sinx+1=2sinx+122+12.

∵x∈π6 ,56π,∴12≤sinx≤1.

当 sinx=1 时,ymax=5; 当 sinx=12时,ymin=52.

综合运用

11.函数 y=2sinωx+π4 (ω>0)的周期为 π,则其单调递增区间为(

)

A.kπ-34π,kπ+π4 (k∈Z)

B.2kπ-3π4 ,2kπ+π4 (k∈Z)

13

C.kπ-38π,kπ+π8 (k∈Z) D.2kπ-3π8 ,2kπ+π8 (k∈Z) [解析] 周期 T=π,∴2ωπ=π,∴ω=2,

∴y=2sin2x+π4 .由-π2 +2kπ≤2x+π4 ≤2kπ+π2 ,k∈Z,得 kπ-38π≤x≤kπ

+π8 ,k∈Z.

[答案] C

12.下列函数中,以π2 为周期且在区间π4 ,π2 单调递增的是(

)

A.f(x)=|cos2x|

B.f(x)=|sin2x|

C.f(x)=cos|x|

D.f(x)=sin|x|

[解析] 作出 y=sin|x|的图象如图 1,知其不是周期函数,排除 D;因为 y=cos|x|

=cosx,周期为 2π,排除 C;作出 y=|cos2x|的图象如图 2,由图象知,其周期为π2 ,在

区间π4 ,π2 单调递增,A 正确;作出 y=|sin2x|的图象如图 3,由图象知,其周期为π2 ,

在区间π4 ,π2 单调递减,排除 B,故选 A.

图1

图2

图3
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[答案] A 13.sin1,sin2,sin3 按从小到大排列的顺序为__________. [解析] ∵1<π2 <2<3<π,

sin(π-2)=sin2,sin(π-3)=sin3.
y=sinx 在0,π2 上递增,且 0<π-3<1<π-2<π2 ,
∴sin(π-3)<sin1<sin(π-2), 即 sin3<sin1<sin2. [答案] sin3<sin1<sin2
14.若 f(x)=2sinωx(0<ω<1)在区间0,π3 上的最大值是 2,则 ω=________. [解析] ∵x∈0,π3 ,即 0≤x≤π3 ,且 0<ω<1, ∴0≤ωx≤ω3π<π3 .∵f(x)max=2sinω3π= 2,

ωπ ∴sin 3 =

2 ωπ π 2 , 3 = 4 ,即

ω=34.

3 [答案] 4

15.已知函数 f(x)=2asin2x+π6 +a+b 的定义域是0,π2 ,值域是[-5,1],求 a, b 的值.
[解] 因为 0≤x≤π2 ,

所以π6 ≤2x+π6 ≤76π,

所以-12≤sin2x+π6 ≤1.

所以 a>0 时,b3= a+-b=5 1, 解得ab= =2-5.

a<0 时,b3= a+1b=-5, 解得ab= =- 1.2 因此 a=2,b=-5 或 a=-2,b=1.

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