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高2020届高2017级高三一轮复习理科数学数学核按钮考点突破全套课件5.3_图文

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? 5.3 平面向量的数量积 1.数量积的概念 已知两个非零向量 a 与 b,我们把数量 ________________叫做 a 与 b 的数量积(或内积), 记作____________,即 a·b=________,其中 θ 是 a 与 b 的夹角,|a|cosθ(|b|cosθ)叫向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的____________. a·b 的 几 何 意 义 : 数 量 积 a·b 等 于 ___________________________________________ . 2.数量积的运算律及常用结论 (1)数量积的运算律 ①交换律:___________________; ②数乘结合律:_________________________; ③分配律:______________________________. (2)常用结论 ①(a±b)2=________________________; ②(a+b)·(a-b)=_________________; ③ a2+b2=0?______________________; ④||a|-|b||________|a|+|b|. 3.数量积的性质 设 a,b 都是非零向量,e 是与 b 方向相同的单位向量,θ 是 a 与 e 的 夹角,则 ① e·a=____________. ② a⊥b?____________. ③当 a 与 b 同向时,a·b=____________; 当 a 与 b 反向时,a·b=____________. 特别地,a·a=____________或|a|=____________. ④ cosθ=____________. ⑤|a·b|≤____________. 4.数量积的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 ①a·b=____________;a2=_______________;|a|=________________. ② a⊥b?____________________. ③|x1x2+y1y2|≤________________________. 自查自纠: 1.|a||b|cosθ a·b |a||b|cosθ 投影 a 的长度|a|与 b 在 a 的方 向上的投影|b|cosθ 的乘积 2.(1)①a·b=b·a ②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb) ③(a+b)·c=a·c+b·c (2)①a2±2a·b+b2 ②a2-b2 ③a=0 且 b=0 ④ ≤ 3.①|a|cosθ ②a·b=0 ③|a||b| -|a||b| |a|2 a·a ④|aa|·|bb| ⑤|a||b| 4.①x1x2+y1y2 x21+y21 x21+y21 ②x1x2+y1y2=0 ③ x21+y21 x22+y22 已知 a,b 是两个单位向量,下列命题中错误的是( ) A.|a|=|b|=1 B.a·b=1 C.当 a,b 反向时,a+b=0 D.当 a,b 同向时,a=b 解:因为 a,b 是两个单位向量,即模为 1 的向量,对于 A,有|a|=|b|=1,则 A 正确;对于 B,a·b=|a||b|cos〈a,b〉 =cos〈a,b〉,则 B 错误;对于 C,当 a,b 反向时,有 a+b =0,则 C 正确;对于 D,当 a,b 同向时,有 a=b,则 D 正 确.故选 B. (2018·全国卷Ⅱ)已知向量 a,b 满足|a|=1, a·b=-1,则 a·(2a-b)=( ) A.4 B.3 C.2 D.0 解:因为 a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-(-1)= 2+1=3.故选 B. ( 长沙周南中学2018届高三三模 ) 已 知 非 零 向 量 a,b,满足|a|= 22|b|,且(a+b)·(3a-2b)=0,则 a 与 b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.34π D.π 解:非零向量 a,b,满足|a|= 22|b|,且(a+b)·(3a-2b) =0,所以 3a2+a·b-2b2=0,设 a,b 的夹角为 θ,所以 3|a|2 +|a|×|b|×cosθ-2|b|2=0,所以 3× 12|b|2+ 22|b|×|b|×cosθ -2|b|2=0,所以 cosθ= 22,θ=π4,所以 a 与 b 的夹角为π4.故 选 A. (2017·全国卷Ⅰ)已知向量 a,b 的夹角为 60°, |a|=2,|b|=1,则|a+2b|=________. 解:|a+2b|= |a|2+4a·b+4|b|2=2 3.故 填 2 3. 已知A→B=(2,1),点 C(-1,0),D(4,5),则向量A→B 在C→D方向上的投影为________. 解:因为点 C(-1,0),D(4,5),所以C→D=(5,5),又 A→B=(2,1),所以向量A→B在C→D方向上的投影为|A→B|cos〈A→B, C→D〉=A→B|C·→DC→| D=5152=3 2 2.故填32 2. 类型一 数量积的定义及几何意义 (1)若 a,b,c 均为非零向量,则下列说法正确的是 ____________.(填写序号即可) ①a·b=±|a|·|b|?a∥b; ②a⊥b?a·b=0; ③a·c=b·c?a=b; ④(a·b)·c=a·(b·c). 解:a·b=|a||b|cosθ,θ 为 a,b 的夹角,则 cosθ=±1, ①正确;②显然正确;③错误,如 a=-b,a⊥c,则 a·c =b·c=0,但 a≠b;④错误,因为数量积的运算结果是一 个数,即等式左边为 c 的倍数,等式右边为 a 的倍数.故 填①②. (2)△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,若A→B+A→C =2A→O,且|O→A|=|A→C|,则向量B→A在向量B→C方向上的投影为 () A.32 B. 3 2


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