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2019精选教育高中数学 312 用二分法求方程的近似解能力强化提升 新人教A版必修1.doc

高中数学 3-1-2 用二分法求方程的近似解能力强化提升 新人

教 A 版必修 1

一、选择题

1.如下四个函数的图象,适合用二分法求零点的是( )

[答案] D

[解析] 选项 A,B 不符合在零点两边函数值符号相异,不适宜用二分法求解;选项 C

中,零点左侧没有函数值,无法确定初始区间,只有 D 中的零点满足图象连续不断 且符号

相异,能用二分法.故选 D.

2.在用二分法求函数 f(x)在区间(a,b)上的唯一零点 x0 的过程中,取区间(a,b)上的

中点 c=a+2 b,若 f(c)=0,则函数 f(x)在区间(a,b)上的唯一零点 x0(

)

A.在区间(a,c)内

B.在区间(c,b)内

C.在区间(a,c)或(c,d)内

D.等于a+2 b

[答案] D

3.已知函数 y=f(x)的图象是连续不间断的,x,f(x)对应值表如下:

x

1

2

3

4

5

6

f(x)

12.04

13.89

-7.67

10.89

-34.76

-44.67

则函数 y=f(x)存在零点的区间有( )

A.区间[1,2]和[2,3]

B.区间[2,3]和[3,4]

C.区间[2,3]和[3,4]和[4,5]

D.区间[3,4]和[4,5]和[5,6]

[答案] C

4.f(x)=x4-15,下列结论中正确的有( )

①f(x)=0 在(1,2)内有一实根;②f(x)=0 在(-2,-1)内有一实根;③没有大于 2

的零点;④f(x)=0 没有小于-2 的根;⑤f(x)=0 有四个实根.

A.2 个

B.3 个

C.4 个

D.5 个

[答案] C

5.某方程在区间(2,4)内有一实根,若用二分法求此根的近似值,将此区间分( )

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次后,所得近似值的精确度可达到 0.1( )

A.2

B.3

C.4

D.5

[答案] D

[解析] 等分 1 次,区间长度为 1,等分 2 次,区间长度变为 0.5,…,等分 4 次,区

间长度变为 0.125,等分 5 次,区间长度为 0.0625<0.1,符合题意,故选 D.

6.用二分法求函数的零点,经过若干次运算后函数的零点在区间(a,b)内,当|a-b|

<ε (ε 为精确度)时,函数零点近似值 x0=a+2 b与真实零点的误差最大不超过(

)

A.ε4

B.ε2

C.ε

D.2ε

[答案] B

[解析] 真实零点离近似值 x0 最远即靠近 a 或 b,而 b-a+2 b=a+2 b-a=b-2 a=ε2 ,

因此误差最大不超过ε2 .

7.若函数 f(x)的零点与 g(x)=4x+2x-2 的零点之差的绝对值不超过 0.25,则 f(x)

可以是( )

A.f(x)=4x-1

B.f(x)=(x-1)2

C.f(x)=ex-1

D.f(x)=ln(x-12)

[答案] A [解析] f(x)=4x-1 的零点为14,f(x)=(x-1)2 的零点为 1,f(x)=ex-1 的零点为 0,

f(x)=ln(x-12)的零点为32.现在我们来估算 g(x)=4x+2x-2 的零点 x0,因为 g(0)=-1,

g(12)=1,所以 g(x)的零点,x0∈(0,12).又函数 f(x)的零点与 g(x)=4x+2x-2 的零点之

差的绝对值不超过 0.25,只有 f(x)=4x-1 的零点适合. 8.某农贸市场出售的西红柿,当价格上涨时,供给量相应增加,而需求量相应减少,
具体调查结果如下两表: 市场供给表

单价 (元/kg)

2 2.4 2.8 3.2 3.6 4

供给量

50 60 70 75 80 90

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(1000kg)

单价 (元/kg)

4

3.4 2.9 2.6 2.3

2

需求量 (1000kg)

50

60

65

70

75 80

据以上提供的信息,市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间( )

A.(2,3,2.6)

B.(2,4,2.6)

C.(2,6,2.8)

D.(2,4,2.8)

[答案] C

[解析] 供给量为 70 时单价为 2.8 元/kg,需求量为 70 时,单价为 2.6 元/kg,从市场

供给表和需求表观察,市场供需平衡点应在区间(2.6,2.8).故选 C.

二、填空题

9.若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正数零点附近的函数值的参考数据如下表:

f(1)=-2

f(1.5)=0.625

f(1.25)≈-0.984

f(1.375)≈

f(1.4375)≈

f(1.46025)≈

-0.260

0.162

-0.054

那么方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似的正数根(精确度 0.1)为________.

[答案] 1.4375(或 1.375)

[ 解 析 ] 由 于 精 确 度 是 0.1 , 而 |1.4375 - 1.375| = 0.0625<0.1 , 故 取 区 间

(1.375,1.4375)端点值 1.375 或 1.4375 作为方程近似解.

10.已知二次函数 f(x)=x2-x-6 在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线,且 f(1)

=-6<0,f(4)=6>0,由零点存在性定理可知函数在[1,4]内有零点,用二分法求解时,取

(1,4)的中点 a,则 f(a)=________.

[答案] -2.25

[解析] 由(1,4)的中点为 2.5,得 f(2.5)=2.52-2.5-6=-2.25.

11.用二分法求方程 x3-2x-5=0 在区间[2,3]内的实数根时,取区间中点 x0=2.5,

那么下一个有根区间是______________.

[答案] (2,2.5)

[解析] ∵f(2)<0,f(2.5)>0,∴下一个有根区间是(2,2.5).

12.用二分法求方程 f(x)=0 在[0,1]内的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,

f(0.687 5)<0,即可得出方程的一个近似解为________(精确度 0.1).

[答案] 0.75(答案不唯一)

[解析] 因为|0.75-0.6875|=0.0625<0.1,所以区间[0.6875,0.75]内的任何一个值

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都可作为方程的近似解.

三、解答题

13.已知图象连续不断的函数 y=f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点,如果用“二分法”

求这个零点(精确度 0.01)的近似值,求区间(0,0.1)等分的至少次数.

[解析]

0.1 依题意 2n <0.01,得

2n>10.故

n

的最小值为

4.

14.求证:方程 x3-3x+1=0 的根一个在区间(-2,-1)内,一个在区间(0,1)内,另

一个在区间(1,2)内.

[解析] 证明:令 F(x)=x3-3x+1,它的图象一定是连续的,

又 F(-2)=-8+6+1=-1<0,F(-1)=-1+3+1=3>0,

∴方程 x3-3x+1=0 的一根在区间(-2,-1)内.

同理可以验证 F(0)F(1)=1×(-1)=-1<0,

F(1)F(2)=(-1)×3=-3<0,

∴方程的另两根分别在(0,1)和(1,2)内.

15.求方程 2x3+3x-3=0 的一个近似解(精确度 0.1).

[解析] 设 f(x)=2x3+3x-3,经计算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0,所以函数在(0,1)

内存在零点,即方程 2x3+3x-3=0 在(0,1)内有实数根.

取(0,1)的中点 0.5,经计算 f(0.5)<0,又 f(1)>0,所以方程 2x3+3x-3=0 在(0.5,1)

内有实数根.

如此继续下去,得到方程的一个实数根所在的区间,如下表:

(a,b) 的

(a,b)

f(a)

中点

f(b)

f(a+2 b)

(0,1)

0.5

f(0)<0

f(1)>0

f(0.5)<0

(0.5,1)

0.75

f(0.5)<0

f(1)>0

f(0.75)>0

(0.5,0.75)

0.625

f(0.5)<0

f(0.75)>0

f(0.625)<0

(0.625,0.75)

0.6875

f(0.625)<0

f(0.75)>0

f(0.6875)<0

因为|0.6875-0.75|=0.0625<0.1,所以方程 2x3+3x-3=0 的一个精确度为 0.1 的近

似解可取为 0.75.

16.方程 x5+x-3=0 有多少个实数解?你能证明自己的结论吗?如果方程有解,请求

出它的近似解(精确到 0.1).

[解析] 考查函数 f(x)=x5+x-3,

∵f(1)=-1<0,f(2)=31>0,

∴函数 f(x)=x5+x-3 在区间(1,2)有一个零点 x0. ∵函数 f(x)=x5+x-3 在(-∞,+∞)上是增函数(证明略),

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∴方程 x5+x-3=0 在区间(1,2)内有唯一的实数解. 取区间(1,2)的 中点 x1=1.5,用计算器算得 f(1.5)≈6.09>0,∴x0∈(1,1.5). 同理,可得 x0∈(1,1.25),x0∈(1.125,1.25),x0∈(1.125,1.1875),x0∈(1.125,1.156 25),x0∈(1.125,1.1406 25). 由于|1.1406 25-1.125|<0.1,此时区间(1.125,1.1406 25)的两个端点精确到 0.1 的近似值都是 1.1.
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