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2017-2018年高考全国卷Ⅰ理科数学试题及详细解析_图文

绝密★启用前
2017 年普通高等学校招生全国统一考试(全国 I 卷)
理科数学
注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、 选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 A ? ?x x ? 1?,B ? ?x 3x ? 1? ,则()

A. A B ? ?x x ? 0?

B. A B ? R

C. A B ? ?x x ? 1?

D. A B ? ?

【答案】A
【详解】 A ? ?x x ? 1? , B ? ?x 3x ?1? ? ?x x ? 0?

∴ A B ? ?x x ? 0? , A B ? ?x x ? 1? ,

∴选 A

2. 如图,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白 色部分位于正方形的中心成中心对称,在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的 概率是()

A. 1 4
【答案】B

B. π 8

C. 1 2

D. π 4

【详解】设正方形边长为 2 ,则圆半径为1

则正方形的面积为 2 ? 2 ? 4 ,圆的面积为 π ?12 ? π ,图中黑色部分的概率为 π 2

-1-

π 则此点取自黑色部分的概率为 2 ? π
48
∴故选 B

3. 设有下面四个命题()

p1

:若复数

z

满足

1 z

?

R

,则

z

?R



p2 :若复数 z 满足 z2 ?R ,则 z ?R ;

p3 :若复数 z1 ,z2 满足 z1z2 ? R ,则 z1 ? z2 ;

p4 :若复数 z ?R ,则 z ?R .

A. p1 ,p3

B. p1 ,p4

【答案】B

C. p2 ,p3

D. p2 ,p4

【详解】

p1

:设

z

?

a ? bi

,则

1 z

?

a

1 ? bi

?

a a2

? bi ? b2

?R

,得到 b

?

0

,所以

z?R

.故

P1

正确;

p2 : 若 z2 ? ?1 ,满足 z2 ?R ,而 z ? i ,不满足 z2 ?R ,故 p2 不正确; p3 : 若 z1 ?1, z2 ? 2 ,则 z1z2 ? 2 ,满足 z1z2 ? R ,而它们实部不相等,不是共轭复 数,故 p3 不正确; p4 : 实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故 p4 正确;

4. 记 Sn 为等差数列?an? 的前 n 项和,若 a4 ? a5 ? 24,S6 ? 48 ,则?an? 的公差为()

A.1

B.2

C.4

D.8

【答案】C

【详解】 a4 ? a5 ? a1 ? 3d ? a1 ? 4d ? 24

6?5 S6 ? 6a1 ? 2 d ? 48

联立求得 ???2a1 ? 7d ? 24 ??6a1 ? 15d ? 48

① ②

①?3 ? ② 得 ?21?15?d ? 24

6d ? 24 ∴d ? 4 选C

5. 函数 f ? x? 在 ??? ,? ?? 单调递减,且为奇函数.若 f ?1? ? ?1,则满足 ?1≤f ? x ? 2?≤1的

x 的取值范围是()

A.??2 ,2?

B. ??1,1?

C. ?0 ,4?

D. ?1,3?

【答案】D

【详解】因为 f ? x? 为奇函数,所以 f ??1? ? ? f ?1? ? 1 ,

于是 ?1≤f ? x ? 2?≤1等价于 f ?1?≤f ? x ? 2?≤f ??1? |

-2-

又 f ? x? 在 ??? ,? ?? 单调递减

??1≤x ? 2≤1

?1≤x≤3

故选 D

6.

???1 ?

1 x2

? ??

?1

?

x?6

展开式中

x2

的系数为

A.15

B. 20

【答案】C.

【详解】 ???1+

1 x2

? ??

?1

?

x?6

? 1? ?1?

x?6

?

1 x2

? ?1?

x?6

对 ?1?

x?6



x2

项系数为 C62

?

6?5 2

? 15



1 x2

? ?1?

x?6 的

x2

项系数为 C64 =15 ,

∴ x2 的系数为15 ?15 ? 30

故选 C

C. 30

D. 35

7. 某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成, 正方形的边长为 2 ,俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形,这 些梯形的面积之和为

A.10

B.12

【答案】B

【详解】由三视图可画出立体图

C.14

D.16

该立体图平面内只有两个相同的梯形的面
S梯 ? ?2 ? 4? ? 2 ? 2 ? 6
S全梯 ? 6 ? 2 ? 12 故选 B
-3-

8. 右面程序框图是为了求出满足 3n ? 2n ?1000 的最小偶数 n ,那么在



两个

空白框中,可以分别填入

A. A ?1000 和 n ? n ?1

B. A ?1000 和 n ? n ? 2

C. A≤1000 和 n ? n ?1

D. A≤1000 和 n ? n ? 2

【答案】D

【详解】因为要求 A 大于 1000 时输出,且框图中在“否”时输出

∴“

”中不能输入 A ?1000

排除 A、B

又要求 n 为偶数,且 n 初始值为 0,



”中 n 依次加 2 可保证其为偶

故选 D

9.

已知曲线

C1

:

y

?

cos

x



C2

:

y

?

sin

? ??

2x

?

2π 3

? ??

,则下面结论正确的是()

A.把

C1

上各点的横坐标伸长到原来的

2

倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移

π 6

个单位长度,得到曲线 C2

B.把

C1

上各点的横坐标伸长到原来的

2

倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移

π 12

个单位长度,得到曲线 C2

C.把

C1

上各点的横坐标缩短到原来的

1 2

倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移

π 6

个单位长度,得到曲线 C2

D.把

C1

上各点的横坐标缩短到原来的

2

倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移

π 12

个单位长度,得到曲线 C2

【答案】D

【详解】

C1

:

y

?

cos

x



C2

:

y

?

sin

? ??

2x

?

2π 3

? ??

首先曲线 C1 、 C2 统一为一三角函数名,可将 C1 : y ? cos x 用诱导公式处理.

-4-

y

?

cos

x

?

cos ???

x

?

π 2

?

π 2

? ??

?

sin

? ??

x

?

π 2

? ??

.横坐标变换需将

?

?1

变成

?

?

2





y

?

sin

? ??

x

?

π 2

? ??

?C?1上?各点?横坐?标缩?短它?原? 来 12??

y

?

sin

? ??

2x

?

π 2

? ??

?

sin

2???

x

?

π 4

? ??

???

y

?

sin

? ??

2x

?

2π 3

? ??

?

sin

2???

x

?

π 3

? ??



注意 ? 的系数,在右平移需将 ? ? 2 提到括号外面,这时 x ? π 平移至 x ? π ,

4

3

根据“左加右减”原则,“ x ? π ”到“ x ? π ”需加上 π ,即再向左平移 π .

4

3

12

12

10. 已知 F 为抛物线 C : y2 ? 4x 的交点,过 F 作两条互相垂直 l1 ,l2 ,直线 l1 与 C 交于 A 、

B 两点,直线 l2 与 C 交于 D , E 两点, AB ? DE 的最小值为()

A.16

B.14

C.12

D.10

【答案】A

【详解】

设 AB 倾斜角为? .作 AK1 垂直准线, AK2 垂直 x 轴

?

易知

? ?? ?

AF ? AK1

cos? ? ? AF

GF ? AK1 (几何关系) (抛物线特性)

? ? GP ??

?

P 2

?

? ??

?

P 2

? ??

?

P

∴ AF ? cos? ? P ? AF

同理 AF ? P , BF ? P

1? cos?

1 ? cos?



AB

? 2P 1? cos2 ?

?

2P sin2 ?



DE



AB

垂直,即

DE

的倾斜角为

π 2

?

?

DE

?

2P

sin2

? ??

π 2

?

?

? ??

?

2P cos2 ?

而 y2 ? 4x ,即 P ? 2 .



AB

?

DE

?

2P

? ??

1 sin2

?

?

1 cos2 ?

? ??

?

4

sin2 sin

? ? cos2 ? 2 ? cos2 ?

4 ?
sin2 ? cos2 ?

?

4 1 sin2

2?

4

-5-

?

16 sin2 2?

≥16

,当 ?

?

π 4

取等号

即 AB ? DE 最小值为16 ,故选 A

11. 设 x , y , z 为正数,且 2x ? 3y ? 5z ,则()

A. 2x ? 3y ? 5z

B. 5z ? 2x ? 3y

D. 3y ? 2x ? 5z

【答案】D 【详解】取对数: x ln 2 ? y ln 3 ? ln 5.

x ? ln 3 ? 3 y ln 2 2

∴2x ? 3y

xln 2 ? z ln5

则 x ? ln 5 ? 5 z ln 2 2
∴ 2x ? 5z ∴3y ? 2x ? 5z ,故选 D

C. 3y ? 5z ? 2x

12. 几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件,为激发大家学习数学的兴趣, 他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动,这款软件的激活码为下面数学问题的

答案:已知数列1, 1, 2 , 1, 2 , 4 , 1, 2 , 4 , 8 , 1, 2 , 4 , 8 , 16 ,…,其中第一项是 20 ,

接下来的两项是 20 , 21 ,在接下来的三项式 26 , 21 , 22 ,依次类推,求满足如下条件 的最小整数 N : N ?100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是

()

A. 440

B. 330

C. 220

D.110

【答案】A

【详解】设首项为第 1 组,接下来两项为第 2 组,再接下来三项为第 3 组,以此类推.

设第 n 组的项数为 n ,则 n 组的项数和为 n?1 ? n?
2
由题, N ?100 ,令 n?1? n? ? 100 → n≥14 且 n ? N* ,即 N 出现在第 13 组之后
2 第 n 组的和为 1? 2n ? 2n ?1
1? 2
? ? n 组总共的和为 2 1 ? 2n ? n ? 2n ? 2 ? n 1? 2
若要使前 N 项和为 2 的整数幂,则 N ? n?1 ? n? 项的和 2k ?1 应与 ?2 ? n 互为相反
2 数

? ? 即 2k ?1 ? 2 ? n k ?N* ,n≥14

k ? log2 ?n ? 3?
→ n ? 29,k ? 5
则 N ? 29 ? ?1? 29? ? 5 ? 440
2 故选 A

-6-

二、 填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

13. 已知向量 a , b 的夹角为 60? , a ? 2 , b ?1,则 a ? 2b ? ________.

【答案】 2 3 【详解】

? ? a

2
? 2b

?

(a ?

2b)2

?

a

2

? 2?

a

?

2b

? cos 60? ?

2b

2 ? 22 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 22

2

? 4 ? 4 ? 4 ?12

∴ a ? 2b ? 12 ? 2 3

?x ? 2y ?1 14. 设 x , y 满足约束条件 ??2x ? y ? ?1 ,则 z ? 3x ? 2y 的最小值为_______.
??x ? y ? 0
【答案】 ?5
?x ? 2y ?1 【详解】不等式组 ??2x ? y ? ?1 表示的平面区域如图所示
??x ? y ? 0

y

A

B

1

x

C

x+2y-1=0

2x+y+1=0

由 z ? 3x ? 2y 得 y ? 3 x ? z , 22

求 z 的最小值,即求直线 y ? 3 x ? z 的纵截距的最大值 22

当直线 y ? 3 x ? z 过图中点 A 时,纵截距最大 22



?2x ? ??x ? 2

y y

? ?

?1 1

解得

A

点坐标为

(?1,1)

,此时

z

?

3?

(?1)

?

2

?1

?

?5

15.

已知双曲线 C

:

x2 a2

?

y2 b2

,( a

? 0 ,b ? 0 )的右顶点为

A ,以

A 为圆心,b 为半径作圆

A,

圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M , N 两点,若 ?MAN ? 60? ,则 C 的离心率为

_______.

【答案】 2 3 3
【详解】如图,

-7-

OA ? a , AN ? AM ? b

∵ ?MAN ? 60? ,∴ AP ? 3 b , OP ? OA 2 ? PA 2 ? a2 ? 3 b2

2

4

AP ∴ tan? ? ?
OP

3b 2 a2 ? 3 b2
4

又∵ tan? ? b ,∴ a

3b 2 a2 ? 3 b2

?

b a

,解得

a2

? 3b2

4

∴e?

1?

b2 a2

?

1? 1 ? 2 3 33

16. 如图,圆形纸片的圆心为 O ,半径为 5 cm ,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O , D 、 E 、 F 为元 O 上的点,△DBC ,△ECA ,△FAB 分别是一 BC ,CA , AB 为底边 的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以 BC , CA , AB 为折痕折起△DBC ,△ECA , △FAB ,使得 D , E , F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体 积(单位: cm3 )的最大值为_______.

【答案】 4 15 【详解】由题,连接 OD ,交 BC 与点 G ,由题, OD ? BC

OG ? 3 BC ,即 OG 的长度与 BC 的长度或成正比 6

设 OG ? x ,则 BC ? 2 3x , DG ? 5 ? x

三棱锥的高 h ? DG2 ? OG2 ? 25 ?10x ? x2 ? x ? 25 ?10x

S△ABC ? 2

3 ? 3x ? 1 ? 3 2

3x2

则V

?

1 3

S△ABC

?h

?

3x2 ?

25 ?10x =

3?

25x4 ?10x5

-8-

令 f ? x? ? 25x4 ?10x5 , x ?(0, 5) , f ?? x? ? 100x3 ? 50x4
2
令 f ?? x? ? 0 ,即 x4 ? 2x3 ? 0 , x ? 2 则 f ? x? ≤ f ?2? ? 80
则V ≤ 3 ? 80 ? 45 ∴体积最大值为 4 15 cm3

三、 解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。

17. △ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知△ABC 的面积为 a2 . 3sin A
(1)求 sin Bsin C ;

(2)若 6cos Bcos C ?1 , a ? 3 ,求 △ABC 的周长.

【提示】本题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等基础知识的综合应用.

【详解】(1)∵△ABC 面积 S ? a2 .且 S ? 1 bcsin A

3sinA

2

∴ a2 ? 1 bcsin A 3sin A 2

∴ a2 ? 3 bcsin2 A 2

∵由正弦定理得 sin2 A ? 3 sin Bsin C sin2 A , 2

由 sin A ? 0 得 sin Bsin C ? 2 . 3

(2)由(1)得 sin Bsin C ? 2 , cos B cosC ? 1

3

6

∵A?B?C ?π

∴ cos A ? cos?π ? B ? C? ? ?cos?B ? C? ? sin BsinC? cos BcosC ? 1
2
又∵ A??0,π?

∴ A ? 60? , sin A ? 3 , cos A ? 1

2

2

由余弦定理得 a2 ? b2 ? c2 ? bc ? 9 ①

由正弦定理得 b ? a ? sin B , c ? a ? sin C

sin A

sin A

-9-



bc

?

a2 sin2

A

?

sin

B

sin

C

?

8



由①②得 b ? c ? 33

∴ a ? b ? c ? 3 ? 33 ,即 △ABC 周长为 3 ? 33

18. (12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB∥CD 中,且 ?BAP ? ?CDP ? 90? .

(1)证明:平面 PAB ? 平面 PAD ; (2)若 PA ? PD ? AB ? DC , ?APD ? 90? ,求二面角 A ? PB ? C 的余弦值. 【详解】(1)证明:∵ ?BAP ? ?CDP ? 90? ∴ PA ? AB , PD ? CD 又∵ AB∥CD ,∴ PD ? AB 又∵ PD PA ? P , PD 、 PA ? 平面 PAD ∴ AB ? 平面 PAD ,又 AB ? 平面 PAB ∴平面 PAB ? 平面 PAD (2)取 AD 中点 O , BC 中点 E ,连接 PO , OE ∵ AB CD ∴四边形 ABCD 为平行四边形 ∴ OE AB 由(1)知, AB ? 平面 PAD ∴ OE ? 平面 PAD ,又 PO 、 AD ? 平面 PAD ∴ OE ? PO , OE ? AD 又∵ PA ? PD ,∴ PO ? AD ∴ PO 、 OE 、 AD 两两垂直 ∴以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz
? ? ? ? ? ? ? ? 设 PA ? 2 ,∴ D ? 2 ,0,0 、 B 2 ,2,0 、 P 0,0, 2 、 C ? 2 ,2,0 ,

? ? ? ? ? ? ∴ PD ? ? 2 ,0,? 2 、 PB ? 2 ,2,? 2 、 BC ? ?2 2 ,0,0

设 n ? ? x ,y ,z? 为平面 PBC 的法向量



??n ?

?

PB

?

0

,得

?? ?

2x ? 2y ?

2z ? 0

??n ? BC ? 0

???2 2x ? 0

? ? 令 y ? 1,则 z ? 2 , x ? 0 ,可得平面 PBC 的一个法向量 n ? 0 ,1 , 2

∵ ?APD ? 90? ,∴ PD ? PA

又知 AB ? 平面 PAD , PD ? 平面 PAD

∴ PD ? AB ,又 PA AB ? A

∴ PD ? 平面 PAB

- 10 -

? ? 即 PD 是平面 PAB 的一个法向量, PD ? ? 2 ,0 ,? 2

∴ cos PD ,n ? PD ? n ? ?2 ? ? 3 PD ? n 2 3 3

由图知二面角 A ? PB ? C 为钝角,所以它的余弦值为 ? 3 3
19. (12 分) 为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程,实验员每天从该生产线上随机抽取 16 个 零件,并测量其尺寸(单位: cm ).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状

? ? 态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N ?,? 2 .

(1)假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ?? ? 3? ,? ? 3? ? 之外的零件数,求 P ? X ≥1? 及 X 的数学期望; (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 ?? ? 3? ,? ? 3? ? 之外的零件,就认为这
条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (I)试说明上述监控生产过程方法的合理性: (II)下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸:
9.95 1 0 . 1 29.96 9 . 9 610.01 9.92 9 . 9 8 1 0 . 0 4 10.26 9.91 1 0 . 1 310.02 9.22 10.04 10.05 9 . 9 5

? ? ? 16
经计算得 x ? xi ? 9.97 , s ?
i ?1

? ? 1 16
16 i?1

xi ? x

2?

1 16

? ? ?

16 i ?1

xi 2

? 16x 2

? ? ?

?

0.212

,其中

xi



抽取的第 i 个零件的尺寸, i ? 1,2, ,16 .

用样本平均数 x 作为 ? 的估计值 ?? ,用样本标准差 s 作为? 的估计值?? ,利用估计

值判断是否需对当天的生产过程进行检查,剔除 ??? ? 3?? ,?? ? 3?? ? 之外的数据,用剩下

的数据估计 ? 和? (精确到 0.01).

? ? 附:若随机变量 Z 服从正态分布 N ?,? 2 ,则 P?? ? 3? ? Z ? ? ? 3? ? ? 0.997 4 .

0.997 416 ? 0.9592 , 0.008 ? 0.09 .

【详解】(1)由题可知尺寸落在 ?? ? 3? ,? ? 3? ? 之内的概率为 0.9974 ,落在 ?? ? 3? ,? ? 3? ? 之外的概率为 0.0026 . P ? X ? 0? ? C106 ?1 ? 0.9974?0 0.997416 ? 0.9592 P? X ? 1? ? 1? P ? X ? 0? ? 1? 0.9592 ? 0.0408 由题可知 X ~ B?16,0.0026? ?E ? X ? ? 16 ? 0.0026 ? 0.0416 (2)(i)尺寸落在 ?? ? 3? ,? ? 3? ? 之外的概率为 0.0026 , 由正态分布知尺寸落在 ?? ? 3? ,? ? 3? ? 之外为小概率事件,
因此上述监控生产过程的方法合理. (ii)
? ? 3? ? 9.97 ? 3? 0.212 ? 9.334 ? ? 3? ? 9.97 ? 3? 0.212 ?10.606
?? ? 3? ,? ? 3? ? ? ?9.334 ,10.606?

- 11 -

9.22??9.334 ,10.606? ,?需对当天的生产过程检查.

因此剔除 9.22

剔除数据之后: ? ? 9.97 ?16 ? 9.22 ? 10.02. 15
? 2 ? [?9.95 ?10.02?2 ? ?10.12 ?10.02?2 ? ?9.96 ?10.02?2 ? ?9.96 ?10.02?2 ? ?10.01?10.02?2

? ?9.92 ?10.02?2 ? ?9.98 ?10.02?2 ? ?10.04 ?10.02?2 ? ?10.26 ?10.02?2 ? ?9.91?10.02?2

? ?10.13 ?10.02?2 ? ?10.02 ?10.02?2 ? ?10.04 ?10.02?2 ? ?10.05 ?10.02?2 ? ?9.95 ?10.02?2 ]? 1
15 ? 0.008

?? ? 0.008 ? 0.09 20. (12 分)

已知椭圆 C :x2 a2

?

y2 b2

?1

?

a

?

b

?

0?

,四点

P1

?1,1?

,P2

?

0

,1?

,P3

? ??

?1,

?

3 2

? ???

,P4

????1,

3? 2 ???

中恰有三点在椭圆 C 上.

(1)求 C 的方程;

(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A 、 B 两点,若直线 P2 A 与直线 P2 B 的斜率的 和为 ?1,证明: l 过定点. 【详解】(1)根据椭圆对称性,必过 P3 、 P4
又 P4 横坐标为 1,椭圆必不过 P1 ,所以过 P2 ,P3 ,P4 三点



P2

?

0

,1?

,P3

? ???

?1



3 2

? ???

代入椭圆方程得

?1

? ?

b2

?1

?3

,解得 a2 ? 4 , b2 ?1

?1

? ?

a

2

?

4 b2

?1

∴椭圆 C 的方程为: x2 ? y2 ? 1 . 4

(2) ① 当斜率不存在时,设 l : x ? m ,A?m ,yA ? ,B ?m ,? yA ?

kP2 A

? kP2B

?

yA ?1 ? m

?yA ?1 ? m

?2 m

? ?1

得 m ? 2 ,此时 l 过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.

② 当斜率存在时,设 l∶y ? kx ? b?b ? 1?

A? x1 ,y1 ? ,B ? x2 ,y2 ?

? ? 联立

? ? ?

y ? kx ? x2 ? 4y2

b ?

4

?

0

,整理得

1 ? 4k 2

x2 ? 8kbx ? 4b2 ? 4 ? 0

x1

?

x2

?

?8kb 1? 4k2



x1

?

x2

?

4b2 ? 4 1 ? 4k2

则 kP2 A

? kP2B

?

y1 ?1 ? x1

y2 ?1 x2

?

x2

? kx1

? b? ?

x2 ? x1 ?kx2
x1 x2

? b? ?

x1

- 12 -

8kb2 ? 8k ? 8kb2 ? 8kb

?

1 ? 4k2

4b2 ? 4

1 ? 4k2

?

8k ?b ?1? 4?b ?1??b ?1?

?

?1,又

b

?

1

? b ? ?2k ?1,此时 ? ? ?64k ,存在 k 使得 ? ? 0 成立.

∴直线 l 的方程为 y ? kx ? 2k ?1

当 x ? 2 时, y ? ?1

所以 l 过定点 ?2 ,?1? .

21. (12 分)

已知函数 f ? x? ? ae2x ? ?a ? 2?ex ? x .

(1)讨论 f ? x? 的单调性;

(2)若 f ? x? 有两个零点,求 a 的取值范围.

【详解】(1)由于 f ? x? ? ae2x ? ?a ? 2?ex ? x

? ?? ? 故 f ?? x? ? 2ae2x ? ?a ? 2? ex ?1 ? aex ?1 2ex ? 1

① 当 a ? 0 时, aex ?1 ? 0 , 2ex ?1 ? 0 .从而 f ?? x? ? 0 恒成立.

f ? x? 在 R 上单调递减

② 当 a ? 0 时,令 f ?? x? ? 0 ,从而 aex ?1 ? 0 ,得 x ? ?ln a .

x

??? ,? ln a? ?ln a ?? ln a ,? ??

f′? x? ?

0

?

f ? x? 单调减

极小值 单调增

综上,当 a ? 0 时, f (x) 在 R 上单调递减; 当 a ? 0 时, f (x) 在 (??,?ln a) 上单调递减,在 (?ln a, ??) 上单调递增
(2)由(1)知,
当 a ? 0 时, f ? x? 在 R 上单调减,故 f ? x? 在 R 上至多一个零点,不满足条件.

当 a ? 0 时,

fmin

?

f

??ln a? ?1?

1 a

? ln a



令 g ?a? ?1? 1 ? ln a .
a



g?a?

?1?

1 a

? ln a?a

?

0?

,则

g '?a?

?

1 a2

?

1 a

?

0 .从而

g ?a?

在 ?0 ,?

??

上单调

增,而 g ?1? ? 0 .故当 0 ? a ?1时,g ?a? ? 0 .当 a ?1时 g ?a? ? 0 .当 a ?1时 g ?a? ? 0

若a

? 1,则

fmin

?1?

1 a

? ln a

?

g ?a?

?

0

,故

f

?x?

?

0 恒成立,从而

f

?x?

无零点,

不满足条件.

若a

? 1,则

fmin

?1?

1 a

? ln a

?

0 ,故

f

?x?

?

0 仅有一个实根

x

? ?ln a

? 0 ,不满足

条件.

若 0 ? a ?1 ,则 fmin

? 1? 1 ?ln a ?0 a

,注意到 ?ln a

?

0



f

??1?

?

a e2

?

a e

?1?

2 e

?

0



- 13 -



f

?x?



? ?1 ,?

ln

a?

上有一个实根,而又

ln

? ??

3 a

? 1???

?

ln

1 a

?

? ln

a





f

? ??

ln(

3 a

?1)

? ??

?

eln???

3 a

?1???

? ??

a

?

eln???

3 a

?1???

?

?

a

?

? 2??? ?

ln

? ??

3 a

? 1???

?

? ??

3 a

?

1???

?

?3

?

a

?

a

?

2?

?

ln

? ??

3 a

?

1???

?

? ??

3 a

?

1???

?

ln

? ??

3 a

? 1???

?

0





f

?x?



? ?

?

ln

?

a

,ln

? ??

3 a

?

1???

? ? ?

上有一个实根.

又 f ? x? 在 ??? ,? ln a? 上单调减,在 ?? ln a ,? ?? 单调增,故 f ? x? 在 R 上至多两

个实根.



f

?x?

在 ??1,? ln a?



? ? ?

?

ln

a

,ln

? ??

3 a

?

1???

? ? ?

上均至少有一个实数根,故

f

?x?

在R

上恰有两个实根.

综上, 0 ? a ?1. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第

一题计分。

22. [选修 4-4:坐标系与参考方程]

在直角坐标系

xOy

中,曲线

C

的参数方程为

?x

? ?

y

? ?

3cos? , sin? ,

(?

为参数),直线

l

的参数

方程为

? ? ?

x y

? ?

a 1

? 4t , ?t, (

t

为参数).

(1)若 a ? ?1,求 C 与 l 的交点坐标;

(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17 ,求 a .

【详解】(1) a ? ?1时,直线 l 的方程为 x ? 4y ? 3 ? 0 .

曲线 C 的标准方程是 x2 ? y2 ? 1 , 9

联立方程

? ? ? ??

x? x2 9

4 ?

y y

?3? 2 ?1

0

,解得:

? ? ?

x y

? ?

3 0



? ?? ? ? ??

x y

? ?

? 21 25
24 25





C



l

交点坐标是

?3,0?



? ??

?

21 25

,24 25

? ??

(2)直线 l 一般式方程是 x ? 4y ? 4 ? a ? 0 .

设曲线 C 上点 p ?3cos? ,sin? ? .

则 P 到 l 距离 d ? 3cos? ? 4sin? ? 4 ? a ? 5sin ?? ? ? ? ? 4 ? a ,其中 tan? ? 3 .

17

17

4

依题意得: dmax ? 17 ,解得 a ? ?16 或 a ? 8

- 14 -

23. [选修 4-5:不等式选讲]
已知函数 f ? x? ? ?x2 ? ax ? 4 ,g ? x? ? x ? 1 ? x ?1 . (1)当 a ?1时,求不等式 f ? x?≥ g ? x? 的解集; (2)若不等式 f ? x?≥ g ? x? 的解集包含??1,1? ,求 a 的取值范围.

【详解】(1)当 a ?1时, f ? x? ? ?x2 ? x ? 4 ,是开口向下,对称轴 x ? 1 的二次函数.
2
?2x ,x ? 1
g ? x? ? x ? 1 ? x ?1 ? ??2 ,?1≤ x ≤1 ,
???2x ,x ? ?1

当 x ?(1, ??) 时,令 ?x2 ? x ? 4 ? 2x ,解得 x ? 17 ?1 2
g ? x? 在 ?1,? ?? 上单调递增, f ? x? 在 ?1,? ?? 上单调递减

∴此时

f

? x?≥ g ? x? 解集为 ????1,

17 2

?

1? ? ?



当 x ???1,1? 时, g ? x? ? 2 , f ? x?≥ f ??1? ? 2 .

当 x ???? ,?1? 时, g ? x? 单调递减, f ? x? 单调递增,且 g ??1? ? f ??1? ? 2 .

综上所述,

f

? x?≥ g ? x? 解集 ???1,
?

17 ?1?

2

? ?



(2)依题意得: ?x2 ? ax ? 4≥ 2 在 ??1,1? 恒成立.

即 x2 ? ax ? 2 ≤0 在??1,1? 恒成立.

则只须

??12 ? a
???? ?1?2

?1? 2≤0
? a??1? ?

2



0

,解出:

?1≤a

≤1



故 a 取值范围是??1,1? .

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