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(完整版)1.1.1正弦定理_图文

1.1.1正弦定理 在数学发展史上,受到天文测量、航海测量和 地理测量等方面实践活动的推动,解三角形的理论 得到不断发展,并被用于解决许多测量问题。 在初中,我们已经能够借助于锐角三角函数解 决有关直角三角形的一些测量问题。在实际工作中 我们还会遇到许多其他的测量问题,这些问题仅用 锐角三角函数就不够了,如: 1.怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离? 2.怎样测量底部不可到达的建筑物的高度? 3.怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海 拔高度 ? 4.怎样测出海上航行的轮船的航速和航向? 这些问题的解决需要我们进一步学习三角形中 边与角关系的有关知识。 在本章中我们要学习正弦定理和余弦定理,并 学习应用这两个定理解三角形以及解决实际测量中 的一些问题。 我们知道,在任意三角形中有大边对大角,小 边对小角的边角关系,我们是否能得到这个边、角 关系准确量化的表示呢? 思考:在直角三角形中,“边”与“角”的关系如何 Rt ?ABC 中 a2 ? b2 ? c2 a ? c sin A,b ? c sin B a?b sin A sin B Q sin C ?1 ?a ? b ? c sin A sin B sin C 思考:对于一般三角形,上述结论是否成立? 探 究 若三角形是锐角三角形, 如图1, C 一 过点C作CD⊥AB于D, a b 此时有 sin B ? CD a , s in A ? CD b B 图1 D A 所以CD=asinB=bsinA, 即 a ? b , sin A sin B 同理可得 b ? c , sin B sin C 即: a ? b ? c sin A sin B sinC 探 若三角形是钝角三角形,以上等式仍然成立吗? 究 二 过点A作AD⊥BC, 交BC延长线于D, A 此时也有 sin B ? AD c 且 sin(? ? C)? AD b ? sinC B 仿上可得 a?b?c sin A sin B sinC c b 图2 C D 正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等. 即 a?b?c sin A sin B sin C 思考 是否可以用其他方法证明正弦定理? 法一: 作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/, ? ?BAC? ? 90?, ?C ? ?C' c ?sin C ? sin C' ? c 2R A ? c ? 2R sin C 同理 a ? 2R, b ? 2R sin A sin B ? a ? b ? c ? 2R sin A sin B sin C B a O C b C/ 法二: A c ha b ∵ S?ABC ? 1 2 aha 而 ha ? AD ? c ?sin B ? bsinC B Da C∴ S?ABC ? 1 2 acsin B ? 1 2 absinC ∴ 同理 S?ABC S?ABC ? 1 ab ? 1 bc 2 sin C ? sin A 1 bcs in 2 2 A ? 1 2 ac sin B abc a b c ? ? ? ? 2S?ABC sin A sin B sin C 剖析定理、加深理解 正弦定理可以解决三角形中哪类问题: a ? b ? c ? 2R sin A sin B sin C 1,已知两边和其中一边的对角,求另一边 的对角,进而可求其他的边和角. 2,已知两角和一边,求其他角和边. 一般地,把三角形的三角A,B,C和他们 所对的边a,b,c叫做三角形的元素。已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形。 例题讲解 已知两角和任意边,求其他两边和一角 例1、在?ABC中,已知A ? 15?, B ? 45?, a ?10cm,解三角形 解:根据三角形内角和定理, C ? 180? ? (A ? B) ? 180? ? (15? ? 45? ) ? 120? 根据正弦定理, b ? a sin B sin A ? 10 s sin 45 in 15 ? ? ? 10(1? 3)(cm) 根据正弦定理, c ? a sin C sin A ? 10 sin120 s in 15 ? ? ?5 6 (1 ? 3)(cm) 试一试 已知两角和任意边,求其他两边和一角 练1 在△ABC中,已知c=10cm,A=45。,C=30。求 a, b. C 解:∵ a ? c sin A sinC b a ∴ a = c ?sin A sinC = 10?sin 45? sin 30? ? 10 2 A (cm) c B ∵b?c sin B sin C 且 B ?180? ? (A ? C) ?105? ∴ b= c ?sin B sin C = 10? sin105?? 5( sin 30? 6? 2) (cm) 例题讲解 已知两边和其中一边的对角,求其他边和角 例2.在?ABC中,已知a ? 20cm,b ? 28cm, A ? 40?, 解三角形。(角度精确到1?,边长精确到1cm) 解:根据正弦定理,sin B ? bsin A ? 28sin 40? ? 0.8999. a 20 因为0? ? B ? 180?,所以B ? 64?,或B ? 116? (1)当B ? 64?时,C ? 180? ? ( A ? B) ? 180? ? (40? ? 64?) ? 76?, c ? asin C ? 20sin 76? ? 30(cm). sin A sin 40? (2)当B ? 116?时,C ? 180? ? (



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